Довести що точки А(1;2) B(5;6) C(9;2) D(5;–2) є вершинами квадрата.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Докажем, что расстояния |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
Расстояние между точками A и B можно найти по формуле:
|AB| = √[(X(B)-X(A))^2 + (Y(B)-Y(A))^2]
В нашем случае:
|AB| = √[(5-1)^2 + (6-2)^2] = √(4^2 + 4^2) = √(2*4^2) = 4√2
|BC| = √[(9-5)^2 + (2-6)^2] = √(4^2 + (-4)^2) = √(2*4^2) = 4√2
|CD| = √[(5-9)^2 + (-2-2)^2] = √((-4)^2 + (-4)^2) = √(2*4^2) = 4√2
|DA| = √[(5-1)^2 + (-2-2)^2] = √(4^2 + (-4)^2) = √(2*4^2) = 4√2
Так как все 4 отрезка равны, то ABCD - это ромб.
Найдем вектора AB и BC (пишется со стрелочкой над вектором)
AB = {(5-1); (6-2)} = {4; 4}
BC = {(9-5); (2-6)} = {4; -4}
Теперь найдем угол между векторами AB и BC.
cos (AB, BC) = [X(AB)*X(BC) + Y(AB)*Y(BC)] / (|AB|*|BC|) = (4*4 + 4*(-4)) / (4√2*4√2) = 0
Так как cos (AB, BC) = 0, то угол (AB, BC) = 90°, то есть прямой.
По свойствам ромба, если у него один угол прямой, то все углы прямые.
Ромб с прямыми углами - это и есть квадрат.
Таким образом, мы доказали, что ABCD - квадрат.