Question

При каких значениях а, система уравнений
$ax - 5y = a \\ 2x - 10y = 2$
а) имеет единственное решение
б) не имеет решений
в) имеет бесконечное множество решений​

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{ax - 5y = a,~} \atop {2x - 10y = 2.}} \right.$

Разделим обе части второго уравнения на 2:

$\displaystyle \left \{ {{ax - 5y = a,} \atop {x - 5y = 1.~}} \right.$

Решим систему уравнений методом подстановки. Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$\displaystyle \left \{ {{ax - 5y = a,} \atop {x= 1 + 5y. ~}} \right.$

Подставим $x = 1 + 5y$ в первое уравнение системы:

$a(1 + 5y) - 5y = a.$

Решим данное уравнение в зависимости от значений параметра $a \colon$

$a + 5ay - 5y = a;$

$5ay - 5y = a - a;$

$5y(a - 1) = 0.$

Если $a = 1$, то $0 = 0$, значит, $y$ — любое число.

Если $a \neq 1$, то $5y = 0; ~ y = 0.$ Тогда $x =1 + 5 \cdot 0 = 1.$

Система уравнений всегда имеет решения.

Ответ:

а) $a \neq 1$

б) $a \in \varnothing$

в) $a = 1$