Question

Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма
второго и восьмого членов прогрессии равна 19, а произведение седьмого и
третьего равно 48.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО НУЖНО!!!!

Answer 1

По условию:

$\begin{cases} a_2+a_8=19\\ a_7a_3=48 \end{cases}$

Распишем через первый член и разность:

$\begin{cases} (a_1+d)+(a_1+7d)=19\\ (a_1+6d)(a_1+2d)=48 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a_1+8d=19\\ a_1^2+8a_1d+12d^2=48 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим первый член:

$2a_1=19-8d$

$a_1=9.5-4d$

Подставим во второе уравнение соотношение для первого члена:

$(9.5-4d)^2+8d(9.5-4d)+12d^2=48$

$90.25-76d+16d^2+76d-32d^2+12d^2=48$

$90.25-4d^2=48$

$4d^2=42.25$

$d^2=10.5625$

$d=\pm3.25$

Найдем соответствующие значения первого члена:

$d=3.25:\ a_1=9.5-4\cdot3.25=-3.5$

$d=-3.25:\ a_1=9.5-4\cdot(-3.25)=22.5$

Запишем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Сумма первых 5 членов арифметической прогрессии:

$S_5=\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=5(a_1+2d)$

Подставим найденные значения первого члена и разности.

1. При $a_1=-3.5;\ d=3.25$:

$S_5=5(-3.5+2\cdot3.25)=\boxed{15}$

2. При $a_1=22.5;\ d=-3.25$:

$S_5=5(22.5+2\cdot(-3.25))=\boxed{80}$

Ответ: 15 или 80