Question

Дорога между посёлками Нижнеградский и Верхнеградский идёт сначала по равнине, а потом по склону горы. В одно и то же время из двух концов дороги выехали два велосипедиста. Встретившись в 4.9 км от Нижнеградского, они поехали дальше, доехали до другого посёлка, развернулись и поехали обратно. Вторая их встреча случилась в 9.9 км от Нижнеградского. Найдите расстояние между посёлками, если по равнине велосипедисты едут со скоростью 15 км/ч, на подъёме - 8 км/ч, а на спуске - 24 км/ч.

Answer 1

Ответ:

14 км

Пошаговое объяснение:

Для решения этой задачи надо схематично нарисовать путь, и тогда будет легче решать.

поселки обозначим как

Н - Нижнеградский

В - Верхнеградский

t₁ - время первого велосипедиста, который ехал из Нижнеградска;

t₂ - время второго велосипедиста, который ехал из Верхненеградска;

Пусть у нас путь по равнине будет х км;

путь по склону горы у км.

И у нас может быть несколько вариантов встреч.

а)   1я  встреча на равнине, 2я встреча на равнине, обозначим РР

б)   1я  встреча на равнине, 2я встреча на склоне, обозначим РС

в)  1я  встреча на склоне, 2я встреча на равнине, но тут у нас получается, что первый раз они встречаются на склоне в 4,9 км от Н, а второй раз на равнине в 9,9 км от Н - не получается. Этот случай не рассматриваем.

г)  1я  встреча на склоне, 2я встреча на склоне, обозначим СС.

Ну, что ж, приступим.

а) РР

Прежде всего запишем, что для этого случая есть условие: х ≥ 9,9 км.

Теперь пойдем по временам.

До первой встречи:

 $\displaystyle t_1=\frac{4.9}{15} ;\qquad t_2=\frac{y}{24} +\frac{x-4.9}{24}$    и они равны.

Это будет первое уравнение системы. Запишем его и упростим.

$\displaystyle \frac{4.9}{15}=\frac{y}{24} +\frac{x-4.9}{24};\\\\\frac{y}{24} +\frac{x-4.9}{15} -\frac{4.9}{15} =0;\qquad \frac{y}{24} ^{\smallsetminus 5}+\frac{x-9.8}{y} ^{\smallsetminus 8}=0; \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {5y+8x-78.4=0}$

До второй встречи (каждый проехал весь путь и еще кусочек - до точи  9,9 км до Н):

$\displaystyle t_1=\frac{x}{15} +\frac{y}{8} +\frac{y}{24} +\frac{x-9.9}{15} ;\qquad t_2=\frac{y}{24} +\frac{x}{15} +\frac{9.9}{15} ;\\\\\\frac{x}{15} +\frac{y}{8} +\frac{y}{24} +\frac{x-9.9}{15}=\frac{y}{24} +\frac{x}{15} +\frac{9.9}{15}\\\\\\\frac{y}{8} +\frac{x-9.9}{15} -\frac{9.9}{15} =0;\quad \frac{y}{8} ^{\smallsetminus 15}+\frac{x-19.8}{15} ^{\smallsetminus 8}=0;\quad \Rightarrow \boldsymbol {15y+8x-158.4=0}$

Для первого случая мы получили систему с условием. Решим ее

$\displaystyle \left \{ {{5y+8x-78.4=0\hfill} \atop {\displaystyle 15y+8x-158.4=0\atop {\displaystyle x\geq 9.9\hfill}}} \right. \left \{ {{5y+8x-78.4=0} \atop {\displaystyle 10y-80=0 \hfill \atop {\displaystyle x\geq 9.9 \hfill}}} \right. \left \{ {{x=4.8} \atop {\displaystyle y=8 \hfill \atop {\displaystyle x\geq 9.9\hfill}}} \right. \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset$

Таким образом система решений не имеет. а это значит, что  случая а) - обе встречи на равнине - быть не может.

б) РС. тут у нас ограничение на х       4,9 ≤ х ≤ 9,9

Первая встреча на равнине - первое уравнение не меняется.

5y + 8x -78.4 = 0

Найдем второе уравнение

$\displaystyle t_1=\frac{x}{15} +\frac{y}{8} +\frac{x+y-9.9}{24} ; \qquad t_2=\frac{y}{24}+\frac{x}{15} +\frac{x}{15} +\frac{9.9-x}{8} ;\\\\\frac{x}{15} +\frac{y}{8} +\frac{x+y-9.9}{24}=\frac{y}{24}+\frac{x}{15} +\frac{x}{15} +\frac{9.9-x}{8};\\\\\frac{y}{8}+ \frac{x+y-9.9}{24} -\frac{x}{15} -\frac{9.9-x}{8} =0;\quad \frac{y-9.9+x}{8} ^{\smallsetminus 15}+\frac{x-9.9}{24} ^{\smallsetminus 15}-\frac{x}{15} ^{\smallsetminus 8}=0\\\\15x+15y-148.5+5x-49.5-8x=0; \quad 12x+5y-198=0;\quad$$\boldsymbol {4x+5y-66=0}$

Теперь система:

$\displaystyle 4.9 \leq x\leq 9.9\\\\\left \{ {{5y+8x-78.4=0} \atop {4x+5y-66=0}} \right. \left \{ {{4x-12.4=0\hfill} \atop {4x+5y-66=0}} \right. \left \{ {{x=3.1\hfill} \atop {\displaystyle4x+5y-66=0\atop {\displaystyle4.9\leq x\leq 9.9\hfill}}} \right. \quad \Rightarrow x \in \emptyset$

Она также не имеет решения, а значит и случая б) встречи РС быть не может.

г) СС  ограничение на х  x < 4.9

Второе уравнение - вторая встреча на склоне у на не меняется

4х+5у-66=0

Найдем первое уравнение - первая встреча на склоне.

$\displaystyle t_1=\frac{x}{15}+\frac{4.9-x}{8} } ;\qquad t_2=\frac{x+y-4.9}{24} \\\\\frac{x}{15}+\frac{4.9-x}{8} }=\frac{x+y-4.9}{24};\quad\frac{x}{15} ^{\smallsetminus 8}+\frac{4.9-x}{8} ^{\smallsetminus 15}-\frac{x+y-4.9}{24} ^{\smallsetminus 5}=0\\\\8x-73.5-15x-5x-5y+24.5 = 0;\quad \boldsymbol {12x+5y-98=0}$

И теперь система

$\displaystyle \left \{ {{\displaystyle 12x+5y-98=0} \atop {\displaystyle 4x+5y-66=0 \hfill} }\atop {x\leq 4.9 \hfill} \right. \left \{ {{\displaystyle 12x+5y-98=0} \atop {\displaystyle 8x-32=0 \hfill} }\atop {x\leq 4.9 \hfill} \right. \left \{ {{\displaystyle y=10} \atop {\displaystyle x=4 \hfill} }\atop {x\leq 4.9 \hfill} \right$

Мы нашли решение системы и решение задачи.

Путь по равнине  = 4 км

Путь по склону     = 9 км

Весь путь от Н до В  = (10+4) = 14 км

ответ

расстояние между посёлками равно 14 км