Question

Решите уравнение ;)
...........................

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{2}$

Объяснение:

ОДЗ:

$x \neq 0;$

$\left \{ {{x+1\geq 0} \atop {\frac{x-1}{x}\geq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\geq -1} \atop {1-\frac{1}{x}\geq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\geq -1} \atop {\frac{1}{x}-1 \leq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\geq -1} \atop {\frac{1}{x} \leq 1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\geq -1} \atop {x\geq 1}} \right. ;$

$x \in [-1; 0) \cup (0; +\infty);$

Решение:

$\sqrt{x+1}-1-\sqrt{\frac{x-1}{x}}=0;$

$\sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}=1;$

$(\sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}})^{2}=1^{2};$

$(\sqrt{x+1})^{2}-2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x}}+(\sqrt{\frac{x-1}{x}})^{2}=1;$

$x+1-2 \cdot \sqrt{\frac{(x+1) \cdot (x-1)}{x}}+\frac{x-1}{x}=1$

$\frac{(x+1) \cdot x+x-1}{x}-2 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}}=1;$

$2 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}}=\frac{x^{2}+x+x-1}{x}-1;$

$2 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}}=\frac{x^{2}+2x-1-x}{x};$

$2 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}}=\frac{x^{2}+x-1}{x};$

$(2 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}})^{2}=(\frac{x^{2}+x-1}{x})^{2};$

$2^{2} \cdot (\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x}})^{2}=\frac{(x^{2}+x-1) \cdot (x^{2}+x-1)}{x^{2}};$$4 \cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{2} \cdot x^{2}+x^{2} \cdot x-x^{2} \cdot 1+x \cdot x^{2}+x \cdot x-x \cdot 1-1 \cdot x^{2}-1 \cdot x+1}{x^{2}};$

$4 \cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x-x^{2}-x+1}{x^{2}};$

$4 \cdot \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x+1}{x^{2}};$

$4x(x^{2}-1)=x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x+1;$

$x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x+1=4x^{3}-4x;$

$x^{4}+2x^{3}-4x^{3}-x^{2}-2x+4x+1=0;$

$x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=0;$

Делителями единицы являются 1 и –1. Подставим каждую из этих цифр в уравнение:

$x=1 \Rightarrow 1^{4}-2 \cdot 1^{3}-1^{2}+2 \cdot 1+1=1-2-1+2+1=1 \neq 0;$

$x=-1 \Rightarrow (-1)^{4}-2 \cdot (-1)^{3}-(-1)^{2}+2 \cdot (-1)+1=1+2-1-2+1=1 \neq 0;$

Делители не обращают уравнение в верное равенство.

Решаем данное уравнение методом Феррари. Оно имеет следующий вид:

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

где a, b, c, d — произвольные вещественные числа.

Введём замену

$x=y-\frac{a}{4},$

где у — новая переменная.

$x=y-\frac{-2}{4}=y+\frac{2}{4}=y+\frac{1}{2};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$(y+\frac{1}{2})^{4}-2 \cdot (y+\frac{1}{2})^{3}-(y+\frac{1}{2})^{2}+2 \cdot (y+\frac{1}{2})+1=0;$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4};$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};$

$y^{4}+4 \cdot y^{3} \cdot \frac{1}{2}+6 \cdot y^{2} \cdot \frac{1}{4}+4 \cdot y \cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{16}-2 \cdot (y^{3}+3 \cdot y^{2} \cdot \frac{1}{2}+3 \cdot y \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{8})-$

$-(y^{2}+2 \cdot y \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4})+2 \cdot y+2 \cdot \frac{1}{2}+1=0;$

$y^{4}+2y^{3}+\frac{3}{2}y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}-2y^{3}-\frac{6}{2}y^{2}-\frac{3}{2}y-\frac{1}{4}-y^{2}-y-\frac{1}{4}+2y+1+1=0;$

$y^{4}+2y^{3}-2y^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-\frac{6}{2}y^{2}-y^{2}+\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}y-y+2y+\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2=0;$

$y^{4}-\frac{5}{2}y^{2}+\frac{25}{16}=0;$

$16y^{4}-40y^{2}+25=0;$

$t=y^{2};$

$16t^{2}-40t+25=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-40)^{2}-4 \cdot 16 \cdot 25=1600-16 \cdot 100=1600-1600=0;$

$t=\frac{-b}{2a};$

$t=\frac{-(-40)}{2 \cdot 16}=\frac{40}{32}=\frac{5}{4};$

$y^{2}=\frac{5}{4};$

$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2};$

$x=y+\frac{1}{2}, \quad y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2};$

Корни уравнения удовлетворяют ОДЗ.

Корень уравнения

$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$

не подходит, так как

$\sqrt{-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}+1}=\sqrt{-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}}=\sqrt{-(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2})}=i\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2}} \quad;$

Остаётся корень

$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2} \quad;$

$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2};$