Question

(xy+y^2) dx - x^2 dy=0

Answer 1

Другой человек сразу заметит, что дифференциальное уравнение является однородным и для него существенна замена $y=ux$. Надеюсь этот же человек найдётся и решит, ну а я предоставлю другой способ решения.

$xy+y^2-x^2y'=0$

Разделим обе части уравнения на $-x^2y^2\ne 0$, получаем

$\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}$

Далее домножим обе части уравнения на интегрирующий множитель $\mu(x)$, который определен как $\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln |x|}=\frac{1}{x}$.

$\dfrac{y'}{xy^2}-\dfrac{1}{x^2y}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \dfrac{y'x-y}{x^2y^2}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \Big(\dfrac{x}{y}\Big)'=\dfrac{1}{x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\dfrac{x}{y}=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \dfrac{x}{y}=\ln|x|+C\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{x}{\ln|x|+C}}$

Answer 2

Ответ:

$\frac{1}{y} =Cx+1; \ x=0.$

Пошаговое объяснение:

если переписать это ДУ, то будет (тривиальное решение х=0)

$\frac{xy'}{y^2}- \frac{x}{y} =1;$

попробуйте такой вариант (оформление адаптируйте под свои требования):

1. замена как в ДУ Бернулли, то есть z=1/y; z'= -y'/y², тогда

-х²z'-xz=1 (неоднородное линейное ДУ);

2. Решая неоднородное линейное ДУ (замена z=u*v; z'=u'v+uv'), получится система:

$\left \{ {{u'v=-\frac{1}{x} } \atop {v'=-\frac{v}{x}}} \right. \ => \left \{ {{u=C+x} \atop {v=\frac{1}{x}}} \right.$

3. Обратная замена z=u*v, тогда z=Сх+1;

4. Обратная замена 1/y=z, тогда

$\frac{1}{y} =Cx+1$