Question

Если, не меняя формы тела, увеличить её размеры в n раз, то как изменится его объём?

Answer 1

Возьмем, к примеру, кубик со стороной $a$. Его объем равен $a^3$. Если мы сторону кубика увеличим в n раз, то сторона кубика станет равной $an$. Тогда его объем будет равен $(an)^3 = n^3a^3$. Видно, что если поделить объем кубика со стороной $a$ на объем кубика со стороной $na$, то получим $n^3$. Именно во столько раз изменится объем.

Аналогично можно проделать рассуждения для шара. При увеличении радиуса в n раз объем шара увеличится в $n^3$ раз.

Для параллелепипеда с увеличением всех сторон в n раз его объем увеличится в $n^3$ раз.

Вообще, для тела произвольной формы эта закономерность сохраняется. Нестрого говоря, любое тело можно разбить на кубики (чем меньше сторона кубика, тем точнее можно описать произвольное тело), и, поскольку у каждого кубика объем увеличивается в $n^3$ раз, то и объем всего тела увеличится также.