Question

найдите предел последовательности lim $\frac{15}{n^{3}+1 }$ и $a_{n}=\frac{n+1}{n-1}$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\lim_{n \to \infty} \frac{15}{n^3+1}=0$. Докажем это.

По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что $| \frac{15}{n^3+1}-0|< \varepsilon$.

Заметим, что $| \frac{15}{n^3+1}|< \frac{15}{n^3}$ для всякого натурального n. Тогда, если $\frac{15}{n^3}< \varepsilon$, или (решая неравенство относительно n) $n >\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$, то, взяв в качестве N целую часть числа $\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$, получим, что $| \frac{15}{n^3+1}|< \frac{15}{n^3} < \varepsilon$. Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа $\sqrt[3]{\frac{15}{\varepsilon}}$), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство  $| \frac{15}{n^3+1}-0|< \varepsilon$. А это и значит, что предел равен нулю.

Интуитивно это можно объяснить так: увеличивая номер n, получаем все меньшее и меньшее число, причем оно всегда больше нуля, но его можно сделать очень маленьким.

Аналогично, докажем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n-1}=1$

По определению предела, для всякого положительного ε найдется номер N, что для всех номеров n, бОльших N, верно, что $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$.

Заметим, что $|\frac{n+1}{n-1}-1|=|\frac{n+1-(n-1)}{n-1}|=|\frac{2}{n-1}|$ . Тогда, если $|\frac{2}{n-1}|< \varepsilon$, или (решая неравенство относительно n) $n > \frac{2}{\varepsilon}+1$, то, взяв в качестве N целую часть числа $\frac{2}{\varepsilon}+1$, получим, что $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$. Резюмируя: научились для всякого положительного ε находить номер N (в качестве N можно взять целую часть числа $\frac{2}{\varepsilon}+1$), что для всех номеров n, бОльших N, выполняется неравенство  $| \frac{n+1}{n-1}-1|< \varepsilon$. А это и значит, что предел равен единице.