Question

Найдите область значений функции f(x) = sin^2 x + 2cos x.
Пожалуйста, очень надо!!!

Answer 1

Ответ:

$[-2;2]$

Объяснение:

$f(x)=sin^2x+2cosx\\f(x)=1-cos^2x+2cosx\\f(x)=-cos^2x+2cosx+1$

пусть $cosx=t$, где $-1\leq t\leq 1$

$f(t)=-t^2+2t+1$

Найдем экстремумы функции:

$-t^2+2t+1=0\\t_1=\frac{-1-\sqrt{1+1}}{-1}=1+\sqrt2\\t_2=1-\sqrt2$

при $t\leq 1-\sqrt2$ и $t\geq 1+\sqrt2$ функция убывает

при $1-\sqrt2\leq t\leq 1+\sqrt2$ функция возрастает

Таким образом получаем, что $f(t)$  принимает минимальное значение при $t=-1$ максимальное значение при $t=1$.

$f(-1)=-1-2+1=-2\\f(1)=-1+2+1=2$

Получаем Область значений исходной функции на промежутке $[-2;2]$.