Question

10 Класс. Всего 2 примера!

Лучший поставлю за правильное решение, гарантирую!

Answer 1

$sin18*sin54=\ sin18*cos36=\ frac{2cos18*sin18*cos36}{2cos18}=\ frac{sin36*cos36}{2cos18}=\ frac{2sin36*cos36}{4cos18}=\ frac{sin72}{4cos18}\ sin72=cos18\ frac{cos18}{4cos18}=frac{1}{4}$

Второе нестандартно решил , вспомним что По теореме Виета (для кубического уравнения) , сумма корней будет равна соотношению второго к первому  коэффициента то есть  
$ax^3+bx^2+cx+d=0\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-frac{b}{a}$ ,  можно привести данное выражение  к полиному , так что бы все эти слагаемые  были корнями определенного уравнения . 
$cosfrac{2pi}{7}+cosfrac{4pi}{7}+cosfrac{6pi}{7}=$
заметим что 
$cos(2pi/7) = sin(3pi/14) \ cos(2pi/7)=sqrt{1-cos^2(3pi/14)}\ cos^2(2pi/7)=1-cos^2(3pi/14)\ cos^2(2pi/7)+cos^2(3pi/14) = 1\ cos(4pi/7)+cos(3pi/7) = 0$

но можно все свести к уравнению относительно $cos(pi/7)$ , затем в конце просто поменять знак , так как нам нужен $cos(2pi/7)$ 
$2cos^2(2pi/7)-1=-cos(2pi/7+pi/7)\ 2cos^2(2pi/7)-1=sin(2pi/7)*sin(pi/7)-cos(2pi/7)*cos(pi/7)$
$2(2cos^2(2pi/7)-1)^2-1=2sin^2(2pi/7)*cos(pi/7)-(2cos^2(pi/7)-1)*\ cos(pi/7)\ \ cos(pi/7)=t\ 2(2t^2-1)^2-1=2(1-t^2)t-(2t^2-1)t\ (t+1)(8t^3-4t^2-4t+1)=0$
на интересует второе уравнение 
$8t^3-4t^2-4t+1=0$
В этом уравнение корнями будет число $-cos(2pi/7)$
$-cosfrac{4pi}{7}$
$-cosfrac{6pi}{7}$ и как раньше было сказано по теореме Виета сумма корней будет отношением 
$cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=-4/8=-1/2$