Question

Найдите ctg(α + β), если известно, что tg α = t и (tg α−tg β)/tg(α−β)= 3.

Answer 1

$\mathrm{tg}(\alpha) = t$

$\frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{tg}(\alpha - \beta)} = 3$

Итак, $\cos\alpha \neq 0$,

$\cos\beta \neq 0$

$\mathrm{tg}(\alpha - \beta) \neq 0$.

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = 3\cdot\mathrm{tg}(\alpha - \beta) =$

$= 3\cdot\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} =$

$= 3\cdot\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)} =$

$= 3\cdot \frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$

Имеем,

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = 3\cdot\frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$_____(1)

и

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta \neq 0$

поскольку в противном случае получим $\mathrm{tg}(\alpha - \beta) = 0$ что противоречит условию.

Тогда разделим (1) на $(\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta) \neq 0$

имеем

$1 = \frac{3}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$

$1+ \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta) = 3$

$\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta) = 2$

$\mathrm{tg}(\beta) = \frac{2}{\mathrm{tg}(\alpha)} = \frac{2}{t}$

$\mathrm{ctg}(\alpha+\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha+\beta)} =$

$= \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)} =$

$= \frac{1 - \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta} =$

$= \frac{1 - 2}{t + \frac{2}{t}} = -\frac{1}{t + \frac{2}{t}} = -\frac{t}{t^2+2}$.