Question

Составте уравнение плоскости проходящей через точку А(1,-2,1) перпендикулярно прямой
$( x - 2y + z - 3 = 0 \\ (x + y - z - 2 = 0$
​

Answer 1

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей  А1x+B1y+C1z+D1=0 и A 2 x+B2y+C2z+D2=0, будет перпендикулярен нормальным векторам

 →n1=(A1, B1, C1) и   →n2=(A2, B2, C2 )

. То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов  

→ n1=(A1, B1, C1) и →n2=(A2, B2, C2).

Нормальные векторы исходных плоскостей n1(1,-2,1) и n2(1,1,-1).

Находим их векторное произведение.

i         j        k|        i         j

1      -2        1|        1         -2

1       1        -1|        1          1  = 2i + 1j + 1k + 1j - 1i + 2k = 1i + 2j  + 3k.

Нашли направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости: n(1; 2; 3).

Этот вектор является нормальным вектором перпендикулярной плоскости.

Её уравнение: 1(x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 1) = 0.Раскроем скобки.

x - 1 + 2y + 4 + 3z - 3 = 0  или x + 2y + 3z = 0.

Ответ: x + 2y + 3z = 0.