Question

4,1/под корнем 4,1²+9
При помощи дифференциала вычислить с точностью 0,01 и относительную погрешность.
помогите решить. )))

Answer 1

$\mathrm{f}(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$

$\mathrm{f}(x_0+\Delta x) \approx \mathrm{f}(x_0) + \mathrm{f}'(x_0)\cdot\Delta x$

$x_0 = 4$

$\Delta x = 0{,}1$

$\mathrm{f}'(x) = \frac{1}{x^2+9}\cdot (\sqrt{x^2+9} - x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} =$

$= \frac{1}{(x^2+9)^{\frac{3}{2}}}\cdot (x^2+9 - x^2) =$

$= \frac{9}{(x^2+9)^{\frac{3}{2}}}$

$\mathrm{f}(x_0) = \frac{4}{\sqrt{4^2+9}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} =$

$= 0{,}8$

$\mathrm{f}'(x_0) = \mathrm{f}'(4) = \frac{9}{(4^2+9)^{\frac{3}{2}}} =$

$= \frac{9}{25^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{5^3} = \frac{9\cdot 8}{5^3\cdot 2^3} =$

$= \frac{72}{10^3} = 0{,}072$

$\mathrm{f}(4{,}1) \approx \mathrm{f}(4) + \mathrm{f}'(4)\cdot 0{,}1 =$

$= 0{,}8 + 0{,}072\cdot 0{,}1 = 0{,}8+0{,}0072 = 0{,}8072$