Question

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
$x {}^{3} + x + \sqrt[3]{x ^{3} + x - 2} = 12$
ПОЖАЛУЙСТА
​

Answer 1

Меняем t = x³+x.

$\displaystyle t+\sqrt[3]{t-2}=12 \\ \sqrt[3]{t-2}=12-t \\ t-2=1728-432t+36t^2-t^3 \\ t^3-36t^2+433t-1730=0$

Заметим, что t = 10 является корнем.

$t^2(t-10)-26t^2+433t-1730=0 \\ t^2(t-10)-26t(t-10)+173t-1730=0 \\ t^2(t-10)-26t(t-10)+173(t-10)=0 \\ (t-10)(t^2-26t+173)=0$

Рассмотрим квадратное уравнение.

$\displaystyle t^2-26t+173=0 \\ \frac{D}{4}=169-173=-4$

Оно не имеет решений. Возвращаемся к переменной x.

$x^3+x=10$

Заметим, что x = 2 удовлетворяет данному уравнению. Более того, данное решение единственно. Это видно из уравнения: в левой части сумма двух возрастающих функций, а в правой - константа, то есть уравнение не может иметь больше одного корня.

Ответ:  x = 2

Замечание: уравнение можно вообще не решать, а сразу подобрать корень x = 2 и сослаться на его единственность, как это было проделано выше.