Question

Какую наибольшую целочисленную длину может иметь высота треугольника, если две другие высоты равны 10 и 16?

Answer 1

Пусть дан треугольник со сторонами $a,b,c$  и высотами $h_a,h_b,h_c,$ проведенными к этим сторонам.

По условию пусть  $h_a=10,\ \ h_b=16.$

Тогда наибольшей будет высота $h_c$, которую нужно найти по условию задачи.

Площадь треугольника можно вычислить по любой из трёх формул:

$S_{\triangle}=\dfrac{ah_a}2=\dfrac{bh_b}2=\dfrac{ch_c}2$

Пользуясь равенством площадей, получим:

$\dfrac{ah_a}2=\dfrac{ch_c}2\ \ \Rightarrow\ \ \ ah_a=ch_c\ \ \Rightarrow\ \ a=\dfrac{ch_c}{h_a}=\dfrac{ch_c}{10}\\\\\dfrac{bh_b}2=\dfrac{ch_c}2\ \ \Rightarrow\ \ \ bh_b=ch_c\ \ \Rightarrow\ \ b=\dfrac{ch_c}{h_b}=\dfrac{ch_c}{16}\\\\\boxed{\boldsymbol{a=\dfrac{ch_c}{10}}}\ \ \ \boxed{\boldsymbol{b=\dfrac{ch_c}{16}}}$

Стороны треугольника обратно пропорциональны высотам, проведённым к этим сторонам. Значит:

$h_c>h_b>h_a\ \ \ \Rightarrow \ \ \ c<b<a$.

Неравенство треугольника: большая сторона треугольника меньше суммы двух меньших сторон:

$a<b+c\\\\\dfrac{ch_c}{10}<\dfrac{ch_c}{16}+c\ \ \ \ \ \bigg|\times \dfrac{80}c>0\\\\\dfrac{80\cdot ch_c}{c\cdot 10}<\dfrac{80\cdot ch_c}{c\cdot 16}+\dfrac {80c}c\\\\8h_c<5h_c+80\\\\3h_c<80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{\boldsymbol{h_c<26\dfrac23}}$

Так как нужно выбрать наибольшую целочисленную длину высоты, то:

$h=26$

Ответ: 26.