Question

Найти интегралы методом замены переменной ​

Answer 1

$\int 2x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x = I$

$x^2+1 = t$

$2x\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$

$\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{2x}$

$I = \int 2x\sqrt{t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{2x} =$

$= \int \sqrt{t}\,\mathrm{d}t = \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C =$

$= \frac{t^{\frac{3}{2}} }{\frac{3}{2}} + C =$

$= \frac{2}{3}\cdot(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C =$