Question

Помогите с экстремумом функции. Решение и ответ.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) для нахождения экстремума сперва найдем критические точки.

для этого найдем первую производную

$y=\frac{x^2-2x+2}{x-1} =\left[\begin{array}{ccc}(\frac{u}{v} )'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\\\\end{array}\right] \\y' = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

теперь приравняем ее к 0

$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$  ⇒  х₁ = 0;  х₂ = 2; это точки экстремума

теперь найдем значения функции в этих точках

y(0) = -2

y(2) = 2

таким образом мы нашли экстремумы функции

$y_{min} = -2\\y_{max} = 2$

2) вся теория та же, запишу только вычисления

y=x-ln(1+x)

$y'=1-\frac{1}{x+1} =\frac{x}{x+1}$

здесь будет одна точка экстремума

$\frac{x}{x+1} =0\\x_1 = 0$

значение функции в этой точке

у(0)=0

теперь надо понять максимум это или минимум

для этого найдем вторую производную и ее значение в т х₁=0

если у"(х₁) будет >0 - значит точка x₁ = 0 точка минимума функции.

если у"(х₁) будет <0 - значит точка x₁ = 0 точка максимума функции.

итак, вторая производная

$y'' =\frac{1}{(x-1)^2}$

y''(0)=1 > 0 - значит точка x₁ = 0 точка минимума функции.

$y_{min}(0)=0$