Question

Треугольник ΔABC - равнобедренный,AB=BC. На продолжении стороны АС за точку C выбрана точка D, такая, что ∠ABD=90∘.Из множества точек E, обладающих тем свойством, что точка D принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку CE, выбрали ту, которая находится на максимальном расстоянии от точки B. Найдите угол ∠CED, если известно, что ∠ABC=80∘.
Ответ приведите в градусах, при необходимости округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

∠СED = 20°.

Объяснение:

Множество точек Е, удовлетворяющее условию нахождения точки D на серединном перпендикуляре к отрезку СЕ - это все точки окружности радиуса СD. Тогда все хорды этой окружности, исходящие из точки С, будут перпендикулярны радиусу этой окружности и делятся этим перпендикуляром пополам, то есть условие выполняется. Тогда максимальное расстояние ВЕ будет при расположении точки Е на пересечении  прямой ВD и окружности, так как из всех секущих из точки В к окружности с центром в точке D максимальную длину имеет секущая, проходящая через центр этой окружности.

В равнобедренном треугольнике АВС ∠ВАС = (180-80):2 = 50°.

В прямоугольном треугольнике АВD ∠ВDА = 90-50 = 40° =>

Это внешний угол равнобедренного треугольника CDE, тогда, поскольку он равен сумме двух внутренних углов треугольника (∠DCE = ∠CED), не смежных с ним,

∠CED = 40:2 = 20°.