Question

Решите пожалуйста, заранее спасибо. Логарифмы, неравенства 10-11 класс
2) ((log2)^2-log2*x-2)/(log2*(x+1))=1

3) 2^x+2^(1-x)<3

4) log3|2x-7|<1

5) Дано: log7*2=m Найдите log49*28

Answer 1

Ответ:

2) Замена:

$log_{2}(x) = t$

Получаем:

$\frac{ {t}^{2} - t - 2 }{t + 1} = 1 \\ {t}^{2} - t - 2 = t + 1 \\ {t}^{2} - 2t - 3 = 0 \\ (t + 1)(t - 3) = 0$

Знаменатель не равен нулю (t не равно -1) => корень t=-1 не подходит. Получаем единственный корень t=3.

Возвращаемся к замене:

$log_{2}(x) = 3 \\ x = {2}^{3} \\ x = 8$

Одз: х>0, корень подходит.

Ответ: 8.

3)

${2}^{x} + {2}^{1 - x} - 3 < 0 \\ {2}^{x} + \frac{2}{ {2}^{x} } - 3 < 0$

Замена:

${2}^{x} = t \\ t + \frac{2}{t} - 3 < 0 \\ \frac{ {t}^{2} - 3t + 2}{t} < 0 \\ \frac{(t - 1)(t - 2)}{t} < 0$

получаем: t принадлежит

$( - \infty; 0)U(1;2)$

К замене:

${2}^{x} < 0$

нет решения

${2}^{x} > 1 \: and \: {2}^{x} < 2 \\ x > 0 \: and \: x < 1$

Получаем ответ: х принадлежит (0;1).

4)

$log_{3}(2x - 7) < 1$

Одз;

$2x - 7 > 0 \\ x > \frac{7}{2} \\ x > 3.5$

$2x - 7 < {3}^{1} \\ 2x - 7 < 3 \\ x < 5$

Пересекаем с одз, получаем:

х принадлежит (3,5;5).

5)

$log_{7}(2) = 2 \\ log_{49}(28) = log_{49}(7 \times 4) = log_{49}(7) + log_{49}(4) = log_{ {7}^{2} }(7) + log_{ {7}^{2} }( {2}^{2} ) = \frac{1}{2} log_{7}(7) + \frac{1}{2} \times 2 \times log_{7}(2) = \frac{1}{2} + log_{7}(2)$

$\frac{1}{2} + log_{7}(2) = \frac{1}{2} + m$