Решить уравнения пожалуйста
Ответы
Ответ: 1. y=C*x²; 2. y=(1+√x)².
Пошаговое объяснение:
1. Разделив обе части уравнения на x, получим уравнение y'=dy/dx=2*y/x. Полагая y/x=u, находим y=u*x и y'=u'*x+u. Подставляя эти выражения в уравнение, приходим к уравнению u'*x+u=2*u, или u'*x=u. Отсюда u'=du/dx=u/x, или du/u=dx/x. Интегрируя обе части, получаем ln/u/=ln/x/+ln/C/, где C - произвольная, но не равная нулю постоянная. Тогда u=y/x=x*C и y=C*x². Проверка: y'=2*C*x, x*y'=2*C*x²=2*y - уравнение превращается в тождество, так что решение найдено верно.
2. Запишем уравнение в виде √x*dy-√y*dx=0. Разделив обе части уравнения на произведение √x*√y, получим уравнение dy/√y-dx/√x=0. Интегрируя, получаем 2*√y-2*√x=C, где C - произвольная постоянная. Используя условие y(1)=4, приходим к уравнению 4-2=C, откуда C=2. Поэтому искомое частное решение уравнения имеет вид 2*√y-2*√x=2, или √y-√x=1. Отсюда √y=1+√x и y=(1+√x)². Проверка: dy=2*(1+√x)*1*dx/(2*√x)=(1+√x)*dx/√x, √y*dx-√x*dy=(1+√x)*dx-(1+√x)*dx=0, так что найденное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению. Подставляя теперь в это решение x=1 и y=4, получаем тождество 4=(1+√1)² - то есть решение удовлетворяет и условию y(1)=4. Значит, решение найдено верно.
Замечание: первому уравнению удовлетворяет и решение y=0, но такое решение является тривиальным и мы его не пишем.