Question

теорема пифагора в особенных прямоугольных треугольниках. Если AB=8√3,найди AE

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{AE=\dfrac{32\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Объяснение:

ΔABC:

∠B = 90°,  ∠C = 60°, значит

∠А = 90° - ∠С = 90° - 60° = 30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Пусть ВС = х, тогда АС = 2х

По теореме Пифагора:

AC² = AB² + BC²

4x² = (8√3)² + x²

3x² = 64 · 3

x² = 64

x = 8

AC = 2x = 16

ΔACD:

∠C = 90°,  ∠D = 45°, значит

∠А = 90° - ∠D = 90° - 45° = 45°

Тогда ΔACD равнобедренный, CD = AC = 16.

По теореме Пифагора:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{16^2+16^2}=\sqrt{16^2\cdot 2}=16\sqrt{2}$

ΔADE:

Пусть DE = у, тогда АЕ = 2у по свойству катета, лежащего против угла в 30°.

По теореме Пифагора:

AE² = AD² + DE²

4y² = (16√2)² + y²

3y² = 256 · 2

$y^2=\dfrac{256\cdot 2}{3}$

$y=\dfrac{\sqrt{256\cdot 2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{6}}{3}$

$\boldsymbol{AE}=2y=\boldsymbol{\dfrac{32\sqrt{6}}{3}}}$

или

$\boldsymbol{AE=\dfrac{32\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

____________________________

Если выведены формулы для "особенных" прямоугольных треугольников (см. рисунок), то решение будет короче:

ΔАВС: треугольник с углом 60° (второй острый угол равен 30°),

$AC=\dfrac{2\cdot AB}{\sqrt{3}}=16$

ΔACD: равнобедренный, тогда

$AD=AC\sqrt{2}=16\sqrt{2}$

ΔADE: треугольник с углом 30° (второй острый угол равен 60°),

$AE=\dfrac{2AD}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot 16\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{32\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$