(Х+2)(х-3)(Х-4)<0
Помогите
Ответы
Ответ:
х ∈ (-∞; -2) ∪ (3; 4).
Объяснение:
1) Находим нули функции, для чего левую часть неравенства приравниваем к 0:
(х+2)(х-3)(х-4) = 0
2) Произведение равно нулю, когда один из его сомножителей равен нулю. Поочередно начинаем приравнивать к нулю каждую скобку - в результате получим 3 нуля функции, то есть 3 точки, в которых график этой функции пересекает ось х.
х+2= 0, х₁ = -2;
х-3 = 0, х₂ = 3;
х-4 = 0, х₃ = 4.
3) Исследуем, на каких участках функция положительна, а на каких отрицательна. Проще всего начинать с того участка, на котором х = 0. В нашем случае это участок между х₁ = -2 и х₂ = 3.
Подставляем 0 в исходное выражением и смотрим, с каким знаком получился ответ, с плюсом или с минусом.
Считаем:
(0+2)(0-3)(0-4) = 2*(-3)*(-4) = + 24,
ответ получился со знаком плюс, - значит в интервале от -2 до +3 функция положительна.
Нас это не устраивает, так как надо найти такие значения х, при которых функция отрицательна.
Очевидно (согласно правилу смены знака в нулях функции), что это будут 2 участка: тот который лежит слева от х₁, и тот, который лежит справа от х₂, но меньше х₃.
Поэтому уже можно было бы дать ответ:
х принадлежит двум участкам (-∞; -2) и (3; 4),
или с применением математических символов:
х ∈ (-∞; -2) ∪ (3; 4).
Убедимся в том, что на интервале от 3 до 4 функция отрицательна.
Пусть х = 3,5, тогда исходное выражение приобретает вид:
(х+2)(х-3)(х-4) = (3,5+2)(3,5-3)(3,5-4) = 5,5*0,5*(-0,4) = - 1,1.
Теперь проверим участки левее точки (-2) и правее точки +4: левее (-2) мы должны получить знак "минус", а правее точки +4 знак "плюс".
Считать вовсе не обязательно, сколько получается, так как нас интересует исключительно знак, а не значение функции.
Проверяем знак функции на участке левее (-2). Пусть х = - 5.
(х+2)(х-3)(х-4) = (-5+2)(-5-3)(-5-4) = (-3)*(-8)*(-9) = - 216 - всё правильно: мы подтвердили, что знак на этом участке действительно "минус".
Теперь проверяем знак правее точки +4. Пусть х = 5.
(х+2)(х-3)(х-4) = (5+2)(5-3)(5-4) = 7*2*1 = + 14 - убедились, что знак "плюс".
Ответ: х ∈ (-∞; -2) ∪ (3; 4).