Question

P(x) - многочлен четвертой степени такой,что P(1)=P(-1) и P(2)=P(-2). Докажите что P(x)=P(-x) для любого x.​

Answer 1

Пусть $P(x)=U(x)+V(x)$, где $U(x)$ есть многочлен, каждый член которого входит в четной степени, а $V(x)$ соответственно наоборот. Тогда из условия следует, что $P(1) = U(1)+V(1) = P(-1)=U(-1)+V(-1)=U(1)+V(-1)$, откуда $-V(1)=V(-1)=V(1) \Rightarrow V(1)=V(-1)=0$. Аналогично, $V(2)=V(-2)=0$, то есть числа $-2, -1, 1, 2$ являются корнями многочлена $V(x)$ степени не выше 3. Противоречие. Стало быть, такого многочлена выделить нельзя, следовательно $P(x)=U(x)$, то есть четная функция.