Question

Сформулированы следующие два утверждения:

а) уравнение ax - sqrt(x) + 1 = 0 имеет ровно одно решение

б) неравенство x^2 - 8ax + 1 <= 0 имеет хотя бы одно решение

Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы

Answer 1

а) $ax-sqrt x+1=0,quadsqrt x=t\Rightarrow at^2-t+1=0$.

Это квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю, т.е.

$1-4a=0Rightarrow a=frac14$

б) $x^2-8ax+1leq 0\<var>x^2-8ax+1= 0</var>$

Это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант неотрицателен, т.е. $64a^2-4geq0$. Это неравенство справедливо при $ainleft[frac14;+inftyright)$

Answer 2

а) Рассмотрим уравнение $ax-sqrt{x}+1=0$ (a=0 подходит тогда х=1)сделаем замену переменных $t=sqrt{x}>{0}$. Получим уравнение 

$at^2-t+1=0$ (здесь $aneq{0}$)Данное квадратное уравнение имеет 1 корень, если дискриминант D=0. Однако, если уравнение имеет 2 решения, причем разного знака, то нам подходит только одно положительное. Следовательно, в этом случае исходное уравнение будет иметь тоже 1 корень. Поэтому рассматриваем случай, когда $Dgeq{0}$

$D=1-4ageq{0}$ Тогда $aleq{frac{1}{4}}$

Далее пусть меньший корень будет < 0, а больший >0.

Необходимо рассмотреть 3 случая:

1) $0<a<frac{1}{4}$</var> </p> <p><img src=[/tex]x_1=frac{1-sqrt{D}}{2a}<x_2=frac{1+sqrt{d}}{2a}" title="x_1=frac{1-sqrt{D}}{2a}<x_2=frac{1+sqrt{d}}{2a}" alt="x_1=frac{1-sqrt{D}}{2a}<x_2=frac{1+sqrt{d}}{2a}" /> 

$<var>x_1<0$ 

$<var>x_1=frac{1-sqrt{D}}{2a}<x_2=frac{1+sqrt{d}}{2a}$ 

$0<a<frac{1}{4}$ 

$<var>x_1=frac{1-sqrt{D}}{2a}<x_2=frac{1+sqrt{d}}{2a}$ 

$<var>x_1<0$ Тогда D>1, следовательно a<0. Получаем нет решений.

2) $a<0$ 

$x_2=frac{1 sqrt{D}}{2a}<x_1=frac{1-sqrt{d}}{2a}$ Тогда D>1, следовательно a<0. Получаем нет решений.

2) $a<0$ 

$<var>x_1<0$ Тогда D>1, следовательно a<0. Получаем нет решений.

2) $a<0$ 

$x_2=frac{1 sqrt{D}}{2a}<x_1=frac{1-sqrt{d}}{2a}$

$<var>x_2<0$

$x_2=frac{1+sqrt{D}}{2a}<x_1=frac{1-sqrt{d}}{2a}$

$<var>x_2<0" /> Тогда [tex]sqrt{D}>-1$ всегда выполняется.

$x_1>0$ Тогда  D>1, следовательно a<0.

3) $a=frac{1}{4}$ 

$t=2>0$ 

Таким образом $aleq{0}$ и  $a=frac{1}{4}$

б) неравенство $x^2-8ax+1leq{0}$ будет иметь хотя бы один решение, если $D=64a^2-4geq{0}$. Отсюда получаем a из $(-infty ; -frac{1}{4}]cup{[frac{1}{4};+infty)}$