Question

на рисунке даны два прямоугольных треугольника: угол АОВ и угол BCD. Точка О-середина BD, АО=14 см, угол ОАВ=45°, ctg угол BDC=
$\frac{3}{7}$
Найдите DC.Ответ округли до десятых.​

Answer 1

Ответ:

$DC = 7,8$ см

Объяснение:

Дано: ∠ABO = ∠DCB = 90°, AO = 14 см, ∠OAB = 45°, $ctg \ \angle BDC = \dfrac{3}{7}$,DO = BO

Найти: DC - ?

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAOB:

$\sin \angle OAB = \dfrac{OB}{AO} \Longrightarrow OB = AO \cdot \sin \angle OAB= 14\cdot \sin 45^{\circ} = \dfrac{14\sqrt{2} }{2} =7\sqrt{2}$ см.

Так как по условию DO = BO и DO + BO = BD, то BD = 2OB = $14\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник ΔBDC. По определению котангенса в прямоугольном треугольнике и теореме Пифагора составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{ctg \ \angle BDC = \dfrac{CD}{CB}} \atop {CD^{2} + CB^{2} = BD^{2}}} \right$  $\displaystyle \left \{ {{BC = \dfrac{CD}{ctg \ \angle BDC}} \atop {CD^{2} + CB^{2} = BD^{2}}} \right$

$CD^{2} + \left( \dfrac{CD}{ctg \ \angle BDC} \right)^{2} = BD^{2}$

$CD^{2} + \left( CD \cdot ({ctg \ \angle BDC})^{-1} \right)^{2} = BD^{2}$

$CD^{2} + CD^{2} \cdot ({ctg \ \angle BDC})^{-2} } = BD^{2}$

$CD^{2} \left( 1 + \dfrac{1}{ctg^{2} \ \angle BDC} \right) = BD^{2}$

$DC^{2}\left( 1 + \dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{7} \right)^{2}} \right) = (14\sqrt{2})^{2}$

$DC^{2}\left( 1 + \dfrac{49}{9} \right) = 392$

$DC^{2}\left( \dfrac{9 + 49}{9} \right) = 392$

$DC^{2}\left( \dfrac{58}{9} \right) = 392 \bigg |:\dfrac{58}{9}$

$DC^{2} = \dfrac{392}{1}:\dfrac{58}{9} = \dfrac{392}{1} \cdot \dfrac{9}{58} \approx 60,827$

$DC = \sqrt{ 60,827} \approx 7,8$ см.