Question

как решать неравенства вида​

Answer 1

$\frac{|u|-b}{|v|-d}>(<)\ 0\Leftrightarrow \frac{(|u|-b)(|u|+b)}{(|v|-d)(|v|+d)}> (<)\ 0\Leftrightarrow \frac{|u|^2-b^2}{|v|^2-d^2}}> (<)\ 0\Leftrightarrow\frac{u^2-b^2}{v^2-d^2}> (<)\ 0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{(u-b)(u+b)}{(v-d)(v+d)}> (<) \ 0$

Замечание. Домножение на (|u|+b) и (|v|+d) возможно благодаря положительности этих выражений.

Замечание. Процесс решения подобных неравенств можно убыстрить, сразу заменяя числитель и знаменатель исходной дроби на $u^2-b^2$ и

$v^2-d^2$  соответственно. Обоснование можно провести геометрически. А именно, рассмотрев графики функций y=|x|-a (при a>0) и $y=x^2-a^2$, видим, что у них совпадают участки, на которых они выше (соответственно ниже) оси OX.