Question

Знатоки алгебры, помогите, пожалуйста!
Решите уравнение способом понижения степени уравнения:
$\sin {}^{2} x + \sin {}^{2} 2x - \sin {}^{2} 3x = \sin {}^{2} 4x$
​

Answer 1

Ответ:

$sin^2x+sin^22x-sin^23x=sin^24x\\\\\dfrac{1-cos2x}{2}+\dfrac{1-cos4x}{2}-\dfrac{1-cos6x}{2}=\dfrac{1-cos8x}{2}\ \Big|\cdot 2\\\\\\1-cos2x+1-cos4x-1+cos6x-1+cos8x=0\\\\(cos6x-cos4x)+(cos8x-cos2x)=0\\\\-2sin5x\cdot sinx-2sin5x\cdot sin3x=0\\\\-2sin5x\cdot (sinx+sin3x)=0\\\\sin5x\cdot 2sin2x\cdot cosx=0\\\\a)\ \ sin5x=0\ \ ,\ \ 5x=\pi n\ ,\ x=\dfrac{\pi n}{5}\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sin2x=0\ \ ,\ \ 2x=\pi k\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi k}{2}\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m\ ,\ m\in Z$

Третья серия решений входит во вторую серию, поэтому

Ответ:  $x=\dfrac{\pi n}{5}\ ,\ \ x=\dfrac{\pi k}{2}\ \ ,\ n,k\in Z\ .$