Question

Доказать, что (17^n-1) делится нацело на 16 для любого натурального числа n. Подскажите пожалуйста.

Answer 1

Докажем методом математической индукции.

1) При $n=1$ выполнено $16~\vdots~ 16$.

2) Предположим, что при $n=k$ выражение $\Big(17^k-1\Big)~\vdots~16$

3) Докажем теперь при $n=k+1$

$17^{k+1}-1=17\cdot 17^k-1=\Big(17^k-1\Big)+16\cdot 17^k$

Первая скобка делится на 16 по предположению 2), а слагаемое $16\cdot 17^k$ очевидно делится на 16, следовательно и сумма этих слагаемых делится на 16. Следовательно, выражение $\Big(17^n-1\Big)~ \vdots~ 16$ для любых натуральных $n.$