Question

Постойте взаимно однозначное отображение полуинтервала [0;1) на замкнутый луч [0;+∞). С объяснением

Answer 1

Рассмотрим промежуток $(0;\ 1)$.

Заметим, что при нахождении обратных чисел для чисел из этого промежутка, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(1;\ +\infty)$.

Рассмотрим промежуток $(1;\ +\infty)$.

Заметим, что если мы будем находить числа, на 1 меньшие, чем числа из данного промежутка, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(0;\ +\infty)$.

Таким образом, по некоторому числу из промежутка $(0;\ 1)$ однозначно определяется число из промежутка $(0;\ +\infty)$.

Получим отображение:

$f:\ (0;\ 1)\to (0;\ +\infty)$

$f(x)=\dfrac{1}{x} -1$

Рассуждая в обратном направлении можно получить обратное отображение. Прибавляя 1 к некоторому числу из промежутка $(0;\ +\infty)$ , а затем находя для получившегося числа обратное, мы будем однозначно получать числа из промежутка $(0;\ 1)$.

$f^{-1}:\ (0;\ +\infty)\to (0;\ 1)$

$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x+1}$

Но по условию вместо промежутка $(0;\ 1)$ рассматривается промежуток $[0;\ 1)$, а вместо промежутка $(0;\ +\infty)$ - промежуток $[0;\ +\infty)$. Тогда, сопоставим нули в этих промежутках друг другу.

Получим прямое отображение:

$f:\ [0;\ 1)\to [0;\ +\infty)$

$f(x)=\begin{cases} 0,\ x=0\\ \dfrac{1}{x} -1,\ x\neq 0\end{cases}$

Получим обратное отображение:

$f^{-1}:\ [0;\ +\infty)\to [0;\ 1)$

$f^{-1}(x)=\begin{cases} 0,\ x=0\\ \dfrac{1}{x+1},\ x\neq 0\end{cases}$