Question

100 баллов
Найти предел функции
С подробным решением
$\lim_{x \to \ 0} (\frac{\sqrt[3]{9-x} -9}{x} )$

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{9-x}-9}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac1x\cdot\lim_{x\to0}(\sqrt[3]{9-x}-9)=\lim_{x\to0}\dfrac1x\cdot(\sqrt[3]9-9)=\infty\\\lim_{x\to0-0}\dfrac1x=-\infty\in\overline{\mathbb R}\\\lim_{x\to0+0}\dfrac1x=+\infty\in\overline{\mathbb R}\\\lim_{x\to0-0}\dfrac1x\neq\lim_{x\to0+0}\dfrac1x\\\lim_{x\to0}\dfrac1x=\infty\notin\overline{\mathbb R}\in\widehat{\mathbb R}$

Доказательства по определению:

$1) \displaystyle \lim_{x\to0+0}\dfrac1x=+\infty.\\\forall \delta>0:\exists N(\delta):\forall m>N:\left|\dfrac1x\right|>N\\\beth N(\delta)=\dfrac1\delta,\delta>0\Leftrightarrow \dfrac1x>\dfrac1N=\delta ~~\forall x: 0<x<\delta\Leftrightarrow \lim_{x\to0+0}\dfrac1x=+\infty$

$2) \displaystyle \lim_{x\to0-0}\dfrac1x=-\infty.\\\forall \delta>0:\exists N(\delta):\forall m>N:\left|\dfrac1x\right|>N\\\beth N(\delta)=-\dfrac1\delta,\delta>0\Leftrightarrow -\dfrac1x<-\dfrac1N=\delta ~~\forall x: -\delta<x<0\Leftrightarrow \lim_{x\to0-0}\dfrac1x=-\infty$