Question

Докажите справедливость неравенства. Очень нуждаюсь!

Answer 1

$x^2+2x+\dfrac{1}{x^2+2x+2}\geqslant 0\\ \\ x^2+2x+2+\dfrac{1}{x^2+2x+2}-2\geqslant 0$

Поскольку выражение знаменателя дроби $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$, то домножим обе части уравнения на

$(x^2+2x+2)^2-2(x^2+2x+2)+1\geqslant 0\\ \\ (x^2+2x+2-1)^2\geqslant 0\\ \\ (x^2+2x+1)^2\geqslant 0\\ \\ (x+1)^4\geqslant 0$

Неравенство верно для любых $x$.