Question

Парочка задач ТВИМС


1)Найти ковариацию cov(C,ξ), где ξ - некоторая случайная величина, а C - константа


2)Случайные величины ξ∼E(2) и η∼R(−2;0). Что больше M[ξ^2] или D[η]


3)Закон распределения случайного вектора z= задан с помощью таблицы:


. Исследовать ξ и η на независимость.


помогите пожалуйста!!!

Answer 1

1) $cov(C,\xi )=E\left(\left(C-E\left(C\right)\right)\left(\xi-E\left(\xi\right)\right)\right)=E\left(\left(C-C\right)\left(\xi-E\left(\xi\right)\right)\right)=E(0)=0$

2)

$E(\xi^2)=\int\limits_0^\infty x^2\cdot 2e^{-2x}dx=2\int\limits_0^\infty x^2d(\dfrac{-e^{-2x}}{2})=2((-\dfrac{x^2e^{-2x}}{2})\Big|\limits_0^\infty -\int\limits_0^\infty (-xe^{-2x})dx)=2((0-0) +\dfrac{1}{4}\int\limits_0^\infty (-2xe^{-2x})d(-2x))=\dfrac{1}{2}((-2x-1)e^{-2x})\Big|\limits_0^\infty=\dfrac{1}{2}(0-(-1))=\dfrac{1}{2}$

$D(\eta)=\dfrac{(0-(-2))^2}{12}=\dfrac{1}{3}$

А значит $E(\xi^2)$ больше

3) $P(\eta =1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+0=\dfrac{3}{8}, P(\xi=-1)=\dfrac{1}{4}+0=\dfrac{1}{4}$

$P(\eta=1,\xi= -1)=\dfrac{1}{4}\neq \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{1}{4}=P(\eta=1)\cdot P(\xi= -1)$ - а значит СВ $\eta$ и $\xi$ не являются независимыми

_______________________

Примечание: $E(X)$ - матожидание СВ $X$, привык обозначать матожидание именно так и не обратил внимание, что в Ваших обозначениях экспоненциальное распределение с параметром 2 обозначается как E(2)