Question

Необходимо решить задания, обязательно нужно РЕШЕНИЕ, не только ответы, спасибо)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Находим производную функции

$y'=(\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{1}{3})'=x^2 -2x-3$

Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение.

$x^2-2x-3=0\\D=2^2-4(-3)=16\\x_1=\frac{2-\sqrt{16} }{2}=-1 \\x_2=\frac{2+\sqrt{16} }{2}=3$

Определяем знак производной. Т.к. уравнение производной является параболой, ветви вверх, следовательно

$x\in(-\infty ;-1):\ \ y'>0\\x\in(-1;3):\ \ y'<0\\x\in(3;\infty):\ \ y'>0$

Значит, в точке х=-1 имеем максимум, в точке х=3 - минимум. Вычисляем значения функции в этих точках.

$x=-1; \ \ y=-\frac{1}{3}-1+3+ \frac{1}{3}=2\\x=3 \ \ y=\frac{1}{3}\cdot3^3-3^2-3\cdot3+ \frac{1}{3}=-8 \frac{2}{3}$

Ответ: 3

$max(-1;2),\ \ min(3;-8 \frac{2}{3})$

2. По результатам вычислений в пункте 1 даем ответ. Функция возрастает там, где производная положительная.

$(-\infty ;-1)\cup(3;\infty)$

Ответ: 6

3. Находим вторую производную

$y''=(x^2 -2x-3)'=2x-2$

Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение.

$2x-2=0\\2x=2\\x=1$

При х<1 у''<0

При х>1 у''>0

Следовательно, х=1 есть точка перегиба.

Вычисляем значение функции в точке перегиба

$y=\frac{1}{3}-1-3+ \frac{1}{3}=-3\frac{1}{3}$

$(1;-3\frac{1}{3})$ - точка перегиба

Ответ: 9

4. По результатам предыдущего пункта находим интервалы вогнутости. Функция вогнута там, где вторая производная положительная.

$(1;\infty)$

Ответ: 10

5. Результатам исследования удовлетворяет график, изображенный на рисунке 15

Ответ: 15