Question

Таня написала на доске число 59, а Тоня написала 63. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 43 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 47 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

Answer 1

Ответ:

2037

Пошаговое объяснение:

Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.

Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.

Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 59+43х.

Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 63 + 47у.

И эти числа должны быть равны.

59+43х = 63+47у

43х -47у = 4

Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:

ax +by = c

Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле

х = х₁ + kb

y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.

В нашем случае a = 43; b = -47;  c = 4

и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1  у₁ = -1

43*(-1) -47*(-1)= 4

Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:

х= -1 - 47k;

y = -1 -43k  

Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),

тогда

х = -1 -47*(-1) = -1 +47 = 46;

у = -1 -43*(-1) = -1 + 43 = 42

Таким образом,

через 46 написаний чисел Таня получит 59 + 43*46= 2037;

через 42 написания чисел Тоня получит 63 + 47*42 = 2037.

Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 2037.

ответ

наименьшим общим  числом, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня будет число 2037