60 БАЛЛОВ!!! Пожалуйста решите дифференциальные уравнения с понятным решением!!!
Ответы
6) y =C1*e^(-3*x)*cos(2*x)+C2*e^(-3*x)*sin(2*x)-1/12*e^(-3*x)*cos(4*x).
4) y=2/(3*C1)*√(C1*x)³+C2.
Пошаговое объяснение:
№ 6.
Перед нами - линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение данного уравнения y=y1+y2, где y1 - общее решение однородного уравнения y"+6*y'+13=0, а y2 - частное решение данного неоднородного уравнения.
1) Найдём y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²+6*k+13=0. Оно имеет решения k1=-3+2*i и k2=-3-2*i, где i=√-1. Поэтому y1=e^(-3*x)*[C1*cos(2*x)+C*sin(2*x)].
2) Перейдём к отысканию y2. Правая часть данного уравнения имеет "специальный" вид: f(x)=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=-3, n=4, P1(x)=1, P2(x)=0. Так как числа m+i*n=-3+4*i и m-i*n=-3-4*i не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=e^(-3*x)*[R1(x)*cos(4*x)+R2(x)*sin(4*x)], где R1(x) и R2(x) - многочлены, степень которых равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как P1(x)=const и P2(x)=const, то эта старшая степень равна нулю, и тогда R1(x)=A, R2(x)=B, где A и B - неизвестные пока числа. Тогда окончательно y2=e^(-3*x)*[A*cos(4*x)+B*sin(4*x)]. Дважды дифференцируя y2, подставляя выражения для y2, y2' и y2" в исходное уравнение и приводя подобные члены, приходим к уравнению e^(-3*x)*[-12*A*cos(4*x)-12*B*sin(4*x)]=e^(-3*x)*cos(4*x). Отсюда -12*A=1 и -12*B=0, откуда A=-1/12, B=0 и тогда y2=-1/12*e^(-3*x)*cos(4*x).
3) Находим y=y1+y2=C1*e^(-3*x)*cos(2*x)+C2*e^(-3*x)*sin(2*x)-1/12*e^(-3*x)*cos(4*x).
№ 4.
Так как в данное уравнение не входит сама функция y, то порядок уравнения можно понизить на единицу, то есть до первого. Полагаем y'=z, тогда y"=z' и уравнение принимает вид: 2*x*z'=z, или 2*x*dz/dx=z, или 2*dz/z=dx/x. Интегрируя обе части, находим 2*ln/z/=ln/x+ln/C1/, где C1 - произвольная, но отличная от нуля постоянная. Отсюда z=√(C1*x). Но так как z=y'=dy/dx, то мы приходим к уравнению dy/dx=√(C1*x), откуда dy=√(C1*x)*dx=1/C1*√(C1*x)*d(C1*x). Интегрируя, находим y=2/(3*C1)*√(C1*x)³+C2.