Таня написала на доске число 33, а Тоня написала 48. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 29 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?
Ответы
Ответ:
425
Пошаговое объяснение:
Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.
Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.
Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 33+14х.
Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 48 + 29у.
И эти числа должны быть равны.
33+14х = 48 + 29у
14х -29у = 15
Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:
ax +by = c
Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле
х = х₁ + kb
y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.
В нашем случае
14х -29у = 15
a = 14; b = -29; c = 15
и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1 у₁ = -1 (мы берем именно такое частное решение потому, что оно даст нам меньшие корни уравнений).
14*(-1) -29*(-1)=15
Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:
х= -1 - 29k;
y = -1 -14k;
Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),
тогда
х = -1 -29*(-1) = -1 +29 =28;
у = -1 -14*(-1) = -1 + 14 = 13
Таким образом,
через 28 написаний чисел Таня получит 33+ 14*28=425;
через 13 написания чисел Тоня получит48+29*13 =425.
Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно425.
ответ
число 425