Question

Вычислить предел функции, не используя метод Лопиталя

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{2\b{arctg}~x-\sin x}$

2 Вынесем в знаменателе 2арктангенса за скобку

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{2\b{arctg}~x\bigg(1-\dfrac{\sin x}{2\b{arctg}~x}\bigg)}$

3 Вынесем 0.5 за предел и разделим предел произведения на произведение пределов

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac1{1-\dfrac{\sin x}{2\b{arctg}~x}}$

4 Во втором пределе внесем предел

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}\cdot\dfrac1{\lim\limits_{x\to0}\bigg(1-\dfrac{\sin x}{2\b{arctg}~x}\bigg)}$

5 Вынесем слагаемое 1 вместе со множителем -0.5

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}\cdot\dfrac1{\bigg(1-\dfrac12\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\b{arctg}~x}\bigg)}$

6 Так как

$\b{arctg}~x\sim x$ при $x\to0$

$\sin x\sim x$ при $x\to0$

То второй предел - замечательный, можно заменить на 1

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}\cdot\dfrac1{1-\dfrac12}$

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}\cdot2$

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-e^{-2x}}{\b{arctg}~x}$

7 Прибавим и вычтем 1

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-1-e^{-2x}+1}{\b{arctg}~x}$

8 Разделим на разность дробей

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-1}{\b{arctg}~x}-\lim_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{\b{arctg}~x}$

9 Так как

$\b{arctg}~x\sim x$ при $x\to0$

$e^x-1\sim x$ при $x\to0$

То домножив на 4 и на -2 получим итог

$\displaystyle 4\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x}-1}{4x}+2\lim_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{-2x}$

10 По первому замечательному пределу получим что оба предела равны 1

$4\cdot1+2\cdot1$

ОТВЕТ

$6$

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!