Question

Даны 2 функции f(x)= $x^{3}$ -3x и g(x)=$\frac{4x}{x-2}$
a) Найдите g(f(x))
b)Найдите обратную функцию $g^{-1} x$

Answer 1

Ответ:

а) $g(f(x))=\dfrac{4x^3-12x}{x^3-3x-2}$

б) $g^{-1}(x)=\dfrac{2x}{x-4}$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=x^3-3x$

$g(x)=\dfrac{4x}{x-2}$

а) Находим сложную функцию

$g(f(x))=\dfrac{4f(x)}{f(x)-2}=\dfrac{4(x^3-3x)}{(x^3-3x)-2}=\dfrac{4x^3-12x}{x^3-3x-2}$

ОТВЕТ  $g(f(x))=\dfrac{4x^3-12x}{x^3-3x-2}$

б) Находим обратную функцию для g

$g(x)=y$

тогда по определению обратной функции

$g(y)=x$ и $g^{-1}(x)=y$

тогда решим уравнение относительно у

$\dfrac{4y}{y-2}=x\\\dfrac{y-2}{4y}=\dfrac1x\\\dfrac14-\dfrac1{2y}=\dfrac1x\\\dfrac1{2y}=\dfrac14-\dfrac1x\\\dfrac1{2y}=\dfrac{x-4}{4x}\\2y=\dfrac{4x}{x-4}\\y=\dfrac{2x}{x-4}$

ОТВЕТ $g^{-1}(x)=\dfrac{2x}{x-4}$