Question

Для положительных чисел а, б, с, д докажите неравенство а) 1< а/а+б+с + б/б+с+д + с/с+д+а + д/д+а+б​

Answer 1

Заметим, что выражение справа является однородным. Это означает, что если четверка $(a,b,c,d)$ удовлетворяет неравенству, то четверка $(\lambda a, \lambda b, \lambda c, \lambda d), \lambda > 0$ тоже.  Поэтому достаточно доказать неравенство при условии $a+b+c+d=1$. Тогда неравенство примет вид: $1<\frac{a}{1-d}+\frac{b}{1-a}+\frac{c}{1-b}+\frac{d}{1-c} \Leftrightarrow \frac{a}{1-d}+\frac{b}{1-a}+\frac{c}{1-b}+\frac{d}{1-c} > a+b+c+d$, откуда $\frac{ad}{1-d}+\frac{ba}{1-a}+\frac{bc}{1-b}+\frac{dc}{1-c}>0$, что очевидно.