Question

30 БАЛОВ!!
С помощью интегральной формулы Коши или формулы типа Коши вычислить:

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{4\pi i}{3}cos2$

Пошаговое объяснение:

Подынтегральная функция имеет один ноль $z_0=1$, при этом он лежит в области $D$ ($|z_0-1|=|0|=0<1$) и имеет кратность 5.

$\int\limits_{|z-1|=1}\dfrac{cos2z}{(z-1)^5}dz=\int\limits_{|z-1|=1}\dfrac{f(z)}{B(z)}dz, f(z)=cos2z, B(z)=(z-1)^5$ , при этом

$f(z)$ , очевидно, аналитическая в области $D$, ограниченной указанным контуром (т.к. аналитическая на всей комплексной плоскости), а $B(z)$ - полином, не имеющий нулей на контуре $|z-1|=1$.

Тогда

$\int\limits_{|z-1|=1}\dfrac{f(z)}{B(z)}dz=\dfrac{2\pi i}{(5-1)!}f^{(5-1)}(1)=\dfrac{2\pi i}{4!}f^{(4)}(1)=(*)\\ f''''(z)=(-2sin2z)'''=(-2^2cos2z)''=(2^3sin2z)'=2^4cos2z\\ (*)=\dfrac{2\pi i}{4!}2^4cos2=\dfrac{4\pi i}{3}cos2$