Question

Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной.
y = $frac{4}{ (x-4)^{2} }$

Answer 1

$y^{'}(x_0)= lim_{x to x x_0} frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}= lim_{x to x x_0} frac{ frac{4}{(x-4)^2}- frac{4}{(x_0-4)^2} }{x-x_0}=$
$=lim_{x to x x_0} frac{ frac{4(x_0-4)^2-4(x-4)^2}{(x-4)^2(x_0-4)^2} }{x-x_0}=lim_{x to x x_0} frac{ frac{4(x_0-4-x+4)(x_0-4+x-4)}{(x-4)^2(x_0-4)^2} }{x-x_0}=$
$=lim_{x to x x_0} frac{ frac{4(x_0-x)(x_0+x-8)}{(x-4)^2(x_0-4)^2} }{x-x_0}=lim_{x to x x_0} frac{-4(x_0+x+8)}{(x-4)^2(x_0-4)^2}= frac{-4(2x_0-8)}{(x_0-4)^4}=$
$= frac{-8(x_0-4)}{(x_0-4)^4} = frac{-8}{(x_0-4)^3}$