Question

Вычислить
двойной интеграл
xy^2
D: y=x, x^2 - 2 =y

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{63}{40}$

Пошаговое объяснение:

Нарисуем сначала нашу область D.

1) y = x

Это прямая, которая проходит через начало координат и находится под углом в 45 градусов от полуоси Ох, проходит например через точку (1 1)

2) y = x² - 2

Это парабола (перед нами квадратный трехчлен) Вершина в точке (0 2), образована путем смещения всех точек параболы у = х² на 2 единицы вниз

Смотрите вложение!

Мы интегрируем по красной области

1) Запишем границы

х меняется от -1 до 2 это границы, х координаты точек пересечения (видно из графика)

Для того, чтобы из найти решим уравнение

$\displaystyle x^2-2=x\\x^2-x-2=0\\x^2-2x+x-2=0\\x(x-2)+(x-2)=0\\(x+1)(x-2)=0\\\left [ {{x=-1} \atop {x=2}} \right.$

Это будут первые границы по х

Границы по у - это функции от х. Снизу (нижняя граница) функция $y=x^2-2$ а верхняя граница функция $x$

Тогда запишем двойной интеграл как пару интегралов, зная границы

$\displaystyle \iint\limits_D xy^2dxdy=\int\limits^2_{-1}dx\int\limits^x_{x^2-2x}xy^2dy$

Решим данный интеграл

1 Проинтегрируем $xy^2$ по у

$\displaystyle\int xy^2dy=x\displaystyle\inty^2dy=x\cdot\dfrac13y^3=\dfrac13xy^3$

константу не пишу специально, так как сейчас буду писать пределы

2 Вычислим

$\dfrac13xy^3\Bigg|^x_{x^2-2}=\dfrac13x\cdotx^3-\dfrac13x\cdot(x^2-2)^3=\dfrac13x\Big(x^3-(x^2-2)^2\Big)=-\dfrac13x^7+2x^5+\dfrac13x^4-4x^3+\dfrac83x$

3 Проинтегрируем полученную функцию по х

$\displaystyle \int\Bigg(-\dfrac13x^7+2x^5+\dfrac13x^4-4x^3+\dfrac83x\Bigg)dx=\\=-\int\dfrac13x^7dx+\int2x^5dx+\int\dfrac13x^4dx-\int4x^3dx+\int\dfrac83xdx=\\=-\dfrac13\int x^7dx+2\int x^5dx+\dfrac13\int x^4dx-4\int x^3dx+\dfrac83\int xdx=\\=-\dfrac1{24}x^8+\dfrac13x^6+\dfrac1{15}x^5-x^4+\dfrac43x^2$

4  Подставляем пределы и считаем

$-\dfrac1{24}x^8+\dfrac13x^6+\dfrac1{15}x^5-x^4+\dfrac43x^2\Bigg|^2_{-1}=-\dfrac{32}3+\dfrac{64}3+\dfrac{32}{15}-16+\dfrac{16}{3}=\dfrac{63}{40}$