Question

Помогите, пожалуйста, решить БЕЗ Лопиталя

Answer 1

$6)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\Big(cos2x\Big)^{3/x^2}=\Big[\ 1^{\infty }\ \Big]=\lim\limits _{x \to 0}\Big(1+(\underbrace {cos2x-1}_{\to 0})\Big)^{\frac{3}{x^2}}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\Big(\Big(1+(\underbrace {cos2x-1}_{\to 0})\Big)^{\dfrac{1}{cos2x-1} }\Big)^{\dfrac{3\cdot (cos2x-1)}{x^2}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3(cos2x-1)}{x^2}}=$

$=\Big[\ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3(cos2x-1)}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-3(1-cos2x)}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-3\cdot 2sin^2x}{x^2}=\\\\\\\{\ sinx\sim x\ ,\ x\to 0\ \}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-3\cdot 2x^2}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}(-6)=-6\ \Big]=e^{-6}=\dfrac{1}{e^6}$

$7)\ \ \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{4^{x}-3^{x}}{x^2}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]=\lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{3^{x}\cdot ((\frac{4}{3})^{x}-1)}{x^2}=\\\\\\=\Big[\ (a^{x}-1)\sim x\cdot lna\ ,\ x\to 0\ \Big]=\lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{3^{x}\cdot (x\cdot ln\frac{4}{3})}{x^2}=\lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{3^{x}\cdot ln\frac{4}{3}}{x}=$

$=\Big[\ \lim\limits_{x \to \infty }3^{x}=\left\{\begin{array}{l}+\infty ,\ esli\ x\to +\infty \\0\ ,\ esli\ x\to -\infty \end{array}\right\ \ ,$

Бесконечно большая показательная функция  $3^{x}$  при  $x\to +\infty$  стремиться к  $+\infty$  быстрее, чем степенная функция  $x$  , поэтому  при  $x\to +\infty$  предел равен  $+\infty$  .  При  $x\to -\infty$  можно написать так:

$\lim\limits_{x \to -\infty}\, \Big(3^{x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot ln\dfrac{4}{3}\ \Big)=\Big(\ 0\cdot 0\cdot ln\dfrac{4}{3}=0\ \Big)=0$  $\Big]$ . Поэтому ответ такой:

$\lim\limits_{x \to \pm \infty }\dfrac{4^{x}-3^{x}}{x^2}=\left\{\begin{array}{l}+\infty \ ,\ esli\ x\tp +\infty \\0\ ,\ esli\ x\to -\infty \end{array}\right$