Question

В задаче известны координаты вершин тетраэдра-точки A, B, C, D. Найти:
а) координаты векторов АB, AC, AD в системе орт и модуле этих векторов;
б) угол между векторами AB и AC
в) проекцию вектора AD на вектор AB
г) площадь треугольника ABC
д) объем тетраэдра ABCD

Answer 1

$A(0,4,3)\ ,\ B(4,8,1)\ ,\ C(2,15,-7)\ ,\ D(0,6,4)\\\\a)\ \ \overline{AB}=(4,4,-2)\ ,\ \overline{AC}=(2,11,-10)\ ,\ \ \overline{AD}=(0,2,1)\\\\\overline{AB}=4i+4j-2k\ \ ,\ \ \overline{AC}=2i+11j-10k\ \ ,\ \ \overline{AD}=2j+k\\\\|\overline{AB}|=\sqrt{16+16+4}=6\ \ ,\ \ |\overline{AC}|=\sqrt{4+121+100}=15\ \ ,\\\\|\overline{AD}|=\sqrt{4+1}=\sqrt5\\\\b)\ \ cos\varphi =\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AC}|}=\dfrac{8+44+20}{6\cdot 15}=\dfrac{72}{90}=\dfrac{36}{45}$

$\varphi =arccos\dfrac{36}{45}$

$c)\ \ proek_{{\overline{AB}}}\ \overline{AD}=\dfrac{\overline{AD}\cdot \overline{AB}}{|\overline{AB}|}=\dfrac{0+8-2}{6}=1$

$d)\ \ [\overline{AB}\times \overline{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&4&-2\\2&11&-10\end{array}\right|=(-40+22)\vec{i}-(-40+4)\vec{j}+(44-8))\vec{k}=\\\\\\=-18\vec{i}+36\vec{j}+36\vec{k}\\\\S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot |\, [\overline{AB}\times \overline{AC}]\, |=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{18^2+36^2+36^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2916}=\dfrac{1}{2}\cdot 54=27$

$e)\ \ (\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}4&4&-2\\2&11&-10\\0&2&1\end{array}\right|=0\cdot (-40+22)-2\cdot (-40+4)+1\cdot (44-8)=\\\\\\=0+72+36=108\\\\V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\cdot 108=18$