Question

треугольная пирамида имеет объем равный 3, три ее вершины находятся в точках A(1,2,3) B(3,1,2) C(2,3,1) Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Oy

Answer 1

Даны 3 вершины: A(1,2,3) B(3,1,2) C(2,3,1).

Координаты точки Д(0; у: 0).

Найдём координаты нормального вектора плоскости, проходящей через заданные точки как векторное произведение.

Векторы: АВ = (2; -1; -1), АС = (1; 1; -2).

i j k| i j

2 -1 -1| 2 -1

1 1 -2| 1 1 = 2i -j + 2k + 4j + +1i + 1k = 3i + 3j + 3k = (3; 3; 3).

Находим вектор АД = (-2; (у - 2); -3).

Определяем смешанное произведение (АВхАС)*АД.

(АВхАС) = (3; 3; 3).

АД = (-2; (у - 2); -3).

(АВхАС)*АД = -6 + 3(у - 2) -9 = 3у - 21.

Переходим к уравнению объёма пирамиды: V = (1/6)*(АВхАС)*АД/

Подставим значения объёма  V = 3 и произведения.

3 = (1/6)*(3у - 21),

18 = 3у - 21,

3у = 39,

у = 39/3 = 13.

Ответ: Д(0; 13; 0).