Question

Помогите пожалуйста с математикой!Решить дифференциальное уравнение первого порядка. Найти частное решение(интеграл) если указаны начальные условия

Answer 1

Решаем дифференциальное уравнение:

$y'=cos^2(3x)\\\\y=\int {cos^2(3x)} \, dx = \int {\frac{1+cos(6x)}{2} } \, dx=\frac{1}{2} \cdot \int{1}\, dx+\frac{1}{2}\cdot \int{cos(6x)}\, dx=\\\\=\frac{x}{2} +\frac{1}{12} \cdot sin(6x)+C\\\\y(x)=\frac{x}{2} +\frac{1}{12} \cdot sin(6x)+C$

Подставим условие и найдем константу интегрирования:

$y(\frac{\pi}{6} )=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{6} +\frac{1}{12} \cdot sin(\frac{6\pi}{6})+C=3\\\\\frac{\pi}{12} +\frac{1}{12} \cdot sin(\pi )+C=3\\\\\frac{\pi}{12} +C=3\\\\C=3-\frac{\pi}{12}$

В итоге:

$y(x)=\frac{x}{2} +\frac{1}{12} \cdot sin(6x)+3-\frac{\pi}{12}$

Можно немного "причесать" ответ:

$y(x)=\frac{1}{12} \cdot\bigg(6\cdot x+sin(6x)+36-\pi \bigg)$