Question

Решить комплексныое
$z^{5}+(1-i*\sqrt{3})*z=0$ число

Answer 1

Приведем комплексное число $1-i\cdot \sqrt{3}$ к показательной форме:

$|1-i\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} =2\\\\\phi=arctg(-\frac{\sqrt(3)}{1} )=-arctg(\sqrt{3} )=-\frac{\pi}{3}\\\\1-i\sqrt{3}=|1-i\sqrt{3}|\cdot e^{i\phi}=2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$z^5+(2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} })\cdot z=0$

Вынесем общий множитель:

$z\cdot (z^4+2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} })=0$

Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. В таком случае можем сразу указать один из корней:

$z_0=0$

Рассмотрим второй случай:

$z^4+2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }=0\\\\z^4=-2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }$

Вспомним, что :

$-1=e^{i \pi }$

Тогда:

$-2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }=(-1)\cdot 2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }=e^{i \pi}\cdot 2\cdot e^{-i\cdot\frac{\pi}{3} }=2\cdot e^{i\cdot(-\frac{\pi}{3}+\pi) }=2\cdot e^{i\cdot\frac{2\pi}{3} }$

Что по формуле Эйлера равно:

$2\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi}{3} } = 2\cdot \bigg(cos(\frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{2\pi}{3}) \bigg)$

Уравнение перепишется в виде:

$z^4 = 2\cdot \bigg(cos(\frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{2\pi}{3}) \bigg)}$

Используем формулу Муавра:

$z=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k }{4} )+i\cdot sin(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k }{4} ) \bigg) \, , k=0;1;2;3$

Перебираем k :

$k=0:\\\\z_1=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 0 }{4} )+i\cdot sin(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 0 }{4} ) \bigg) = \sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{\pi}{6}) \bigg)=\\\\=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(\frac{\sqrt{3} }{2} +i\cdot\frac{1}{2} \bigg)$

$k=1:\\\\z_2=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 1 }{4} )+i\cdot sin(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 1 }{4} ) \bigg) = \sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{2\pi}{3}) \bigg)=\\\\=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(-\frac{1 }{2} +i\cdot\frac{\sqrt{3} }{2} \bigg)$

$k=2:\\\\z_3=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 2 }{4} )+i\cdot sin(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 2 }{4} ) \bigg) = \sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{7\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{7\pi}{6}) \bigg)=\\\\=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(-\frac{\sqrt{3} }{2} -i\cdot\frac{1}{2} \bigg)$

$k=3:\\\\z_4=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 3 }{4} )+i\cdot sin(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 3 }{4} ) \bigg) = \sqrt[4]{2} \cdot \bigg(cos(\frac{5\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{5\pi}{3}) \bigg)=\\\\=\sqrt[4]{2} \cdot \bigg(\frac{1 }{2} -i\cdot\frac{\sqrt{3} }{2} \bigg)$

Таким образом, получили 5 комплексных корней  $z_0, z_1, z_2, z_3 , z_4, z_5$