Question

. Найдите множество точек координатной плоскости, которое задано системой неравенств: х2 – у ≤ 3, у-х ≤ -2

Answer 1

Ответ:

$\left\{ \begin{array}{ll}x^2 - y\leq 3\\y - x\leq -2\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}y\geq x^2 -3\\y\leq x-2\end{array}$

Точки плоскости, заданные первым неравенством, лежат выше параболы y = x² - 3, график которой получается смещением графика функции y = x² на 3 единицы вниз (синий график).

Точки плоскости, заданные вторым неравенством, лежат ниже прямой y = x - 2, которую можно построить, сместив прямую у = х на 2 единицы вниз (красный график).

Множество точек координатной плоскости, которое задано системой данных неравенств - это пересечение синей и красной областей.

Answer 2

$\displaystyle\left \{ {{x^2-y\leq3} \atop {y-x\leq-2}} \right. \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ {{y\geq x^2-3} \atop {y\leq x-2}} \right.$

Границей области решений первого неравенства будет парабола:

$y=x^2-3$

Из уравнения функции видно, что вершина параболы имеет координаты  $(0;-3).$ Нули функции  $\pm\sqrt 3$.

Решением неравенства   $y\geq x^2-3$  будет множество точек координатной плоскости, нижняя граница которого - парабола  $y=x^2-3$.  В приложении заштрихована синим цветом.

Границей области решений второго неравенства будет прямая линия:

$y=x-2$

Для построения нужно две точки:

$x_1=0;\ \ y_1=0-2=-2\\x_2=2;\ \ y_2=2-2=0$

Решением неравенства   $y\leq x-2$  будет множество точек координатной плоскости, верхняя граница которого - прямая линия  $y=x-2$.  В приложении заштрихована зелёным цветом.

Решением системы неравенств будет множество точек координатной плоскости, верхняя граница которого - прямая линия $y=x-2,$ а нижняя граница - парабола $y=x^2-3$. В приложении залита оранжевым цветом.