Question

Решите логарифмическое уравнение

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{ccc}x\neq0\\\\2^{\frac{1}{x} }-2>0 \end{array}\right \longrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x\neq0\\\\2^{\frac{1}{x} }>2^1 \end{array}\right \longrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x\neq0\\\\{\frac{1}{x} }>1 \end{array}\right \longrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x\neq0\\\\x<1\end{array}\right$

Перепишем левую часть по свойству логарифма:

$\frac{1}{2x}\cdot log(2)=log(2^{\frac{1}{2x}})$

Приравняем подлогарифмические выражения:

$log(2^{\frac{1}{2x}})=log(2^{\frac{1}{x}}-2)\\\\2^{\frac{1}{2x}}=2^{\frac{1}{x}}-2\\\\2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{2x}}-2=0$

Замена переменной:  $t=2^{\frac{1}{2x} } \, ,t>0$

$t^2-t-2=0\\\\\left[\begin{array}{c}t_1=-1\\\\t_2=2\end{array}\right$

В силу выбора переменной первое слагаемое не может быть решением (оно отрицательное).

Возвращаем замену:

$2^{\frac{1}{2x} }=2^1\\\\{\frac{1}{2x} }=1\\\\x=\frac{1}{2}$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ.