Question

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. К и M - точки пересечения медиан треугольников АCD и BCD соответственно. Докажите, что четырехугольник АКМВ является трапецией. Вычислите длину отрезка КМ, если AB 27 CM.
Сделайте с рисунком.

Answer 1

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. К и M - точки пересечения медиан треугольников АCD и BCD соответственно. Докажите, что четырехугольник АКМВ является трапецией. Вычислите длину отрезка КМ, если AB 27 CM.  Сделайте с рисунком.

Объяснение:

1) Пусть медиана АК , ΔСDA , пересечет сторону АD в точке О, СО=ОD.

В ΔСDB соединим О с В, ОВ- медиана , М-точка пересечения медиан.

По т. о точке пересечения медиан имеем

• ΔСDA ,  $\frac{AK}{KO} =\frac{2}{1}$ ,или   $\frac{OK}{OA} =\frac{1}{3}$ ;
• ΔCDB ,  $\frac{BM}{MO} =\frac{2}{1}$ , или  $\frac{OM}{OB} =\frac{1}{3}$  .

ΔОМК подобен ΔОВА по 2-м пропорциональным сторонам и равному углу между этими сторонами :∠О-общий, $\frac{OM}{OB} =\frac{OK}{OA} =\frac{1}{3}$ ⇒соответственные углы равны ∠ОКМ=∠ОАВ , при секущей ОА ⇒ МК║АВ по признаку параллельности прямых.

У четырехугольника АКМВ 2 стороны параллельны ⇒ это трапеция.

2) Т.к. ΔОМК подобен ΔОВА то сходственные стороны пропорциональны  $\frac{OM}{OB} =\frac{KM}{AB} =\frac{1}{3}$  или KM=27*1:3=9 (см) .